量子情報理論の基本：トポロジカル表面符号 - Qiita

量子情報理論の基本：トポロジカル表面符号 #Python - Qiita 28 いいねしたユーザー一覧へ移動 19 X（Twitter）でシェアする Facebookでシェアする はてなブックマークに追加する more_horiz 記事を削除する close 一度削除した記事は復旧できません。 この記事の編集中の下書きも削除されます。 削除してよろしいですか？ キャンセル 削除する delete info この記事は最終更新日から3年以上が経過しています。 @ SamN 量子情報理論の基本：トポロジカル表面符号 Python 量子コンピュータ 量子力学 量子計算 量子情報 28 最終更新日 2021年09月05日 投稿日 2020年07月27日 $$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$ はじめに フォールトトレラント量子計算を実現するためには各部品の誤り率が$10^{-4}=0.01%$程度以下で、かつ、連結符号という構成によって（Steane符号をベースとした場合）$7$の何乗個もの量子ビットが必要になるという話を 前回 しました。これで多くの人は絶望的な気分になるのですが、今回説明する「トポロジカル表面符号(topological surface code)」によって、希望の光が見えてくるはずです。 この後の節で何を説明しようとしているか最初に言っておきます。まず、「理論説明」ではトポロジカル表面符号（以下「表面符号」と呼ぶことにします）の符号状態と基本的な論理演算をどのように構成するかを述べ、その上で誤り訂正を上手に実行できることを説明します。「動作確認」では、量子計算シミュレータ qlazy を使って、符号状態を作成してノイズを加え誤りを訂正するという一連の流れが正しく動作することを確認します。 参考にさせていただいたのは、以下の文献です。 小柴、森前、藤井「観測に基づく量子計算」コロナ社（2017年） 慶應義塾大学「量子コンピュータ授業 #14 幾何学符号」 K.Fujii,"Quantum Computation with Topological Codes - from qubit to topological fault-tolerance",arXiv:1504.01444v1 [quant-ph] 7 Apr 2015 徳永「量子コンピュータの誤り訂正技術-物理に即したトポロジカル表面符号-」(2014年) 理論説明 表面符号の定義 面演算子と頂点演算子 表面符号とは、平面上に量子ビットを規則正しく並べて、その上で規則正しく定義されたスタビライザー群の生成元によって規定される誤り訂正符号のことです。例えば、$n \times n$の2次元格子を考え、その辺の真ん中に量子ビットを配置することを考えます（下図左）。そして、周期的境界条件を満たしているものとします。つまり、一番上と一番下の辺は同じものであり一番左と一番右の辺は同じものだとします。一番上の辺と一番下の辺をくるっと丸めてくっつけて筒状にしてから、筒の両端にできた2つの円をぐるっと回してくっつけるとドーナツ形＝トーラスが出来上がりますが、そんなイメージです。3次元のオブジェクトを図示するのは大変なので、以下では平面上に表現された格子を使って説明していきますが、頭の中ではトーラスの展開図だと思っておいてください。 スタビライザー符号を構築するには生成元が必要です。というわけで、この格子上に2種類の生成元を定義します。ひとつは「面演算子(plaquette operator)」というもので、もうひとつは「頂点演算子(star operator)」というものです（上図右）。 面演算子$A_m$は格子の各面$f_m$に対応して以下のように定義されます。 A_m = \prod_{i \in \partial f_m} Z_i \tag{1} ここで、$\partial f_m$は$m$番目の面$f_m$の境界に相当する4つの辺を表し、$Z_i$は$i$番目の辺に配置された量子ビットに対するパウリ$Z$演算子です。上図右に示したように各面を囲む四角形としてイメージしておけば良いです。これが格子全面に敷き詰められています。 一方、頂点演算子は格子の各頂点$v_k$に対応して以下のように定義されます。 B_k = \prod_{j \in \delta v_k} X_j \tag{2} ここで、$\delta v_k$は、$k$番目の頂点$v_k$に接続している4つの辺を表し、$X_j$は$j$番目の辺に配置された量子ビットに対するパウリ$X$演算子です。上図右に示したように各頂点を中心にした十文字としてイメージしておけば良いです。これも先程と同様に格子全面に敷き詰められています。面演算子同士、頂点演算子同士は可換ですし、頂点演算子と面演算子は重なる場合は必ず量子ビット2個を共有する形になるので可換です（$X_{i}X_{j}$と$Z_{i}Z_{j}$は可換なので）。したがって、これで可換な生成元が定義できました。 さて、ここで問題です。この$n \times n$の2次元格子に量子ビット（辺）と面演算子と頂点演算子はそれぞれいくつあるでしょうか。周期的な境界条件を考慮すると、量子ビット（辺）の数は$2n^2$個、面演算子（面）の数は$n^2$個、頂点演算子（頂点）の数は$n^2$個であることがわかります。両者合わせて可換な$2n^2$個の生成元があるのですが、全部が独立というわけではありません。面演算子のすべての積は恒等演算子$I$ですし、頂点演算子のすべての積も恒等演算子$I$です 1 。拘束条件が2個あるので、独立な生成元の個数は$2n^2-2$ということになります。量子ビット（辺）の数は$2n^2$個だったので、この符号空間で記述することができる論理ビット数は$2n^{2}-(2n^{2}-2)=2$個ということになります。 双対格子 上図で示した格子は頂点同士をつないだものを辺としましたが、面同士をつないだものを辺とした別の格子を考えることもできます。つまり、面の中央に頂点をおいてそれらをつないだような格子です（下図左、破線で示されています）。このような格子のことを「双対格子(dual lattice)」と呼びます。 この双対格子を使って面演算子と頂点演算子を表現すると、不思議なことが起きます（というかちょっと考えればすぐわかると思いますが）。面演算子の形が十文字になり、頂点演算子の形が四角形となり、図形のイメージが逆転します（上図右）。 元の格子(primal lattice)の面・辺・頂点は、双対格子においては各々頂点・辺・面となりますので、生成元$A_m,B_k$は以下のように双対格子の言葉で書き直すことができます。 A_m = \prod_{i \in \delta \bar{v}_m} Z_i \tag{3} B_k = \prod_{j \in \partial \bar{f}_k} X_j \tag{4} ここで、$\bar{v}_m$は面$f_m$を双対格子で表したときの頂点、$\bar{f}_k$は頂点$v_k$を双対格子で表したときの面です（以降、双対格子上の実体であることを明示するため記号の上にバーをつけることにします）。なぜこのようなものをここで導入したかについては、この後の説明の中でわかりますので、一応覚えておいてください 2 。 自明なループ 生成元が定義できたところで、格子＝トーラス上で定義されるループが演算子的にどんな性質を持っているのかを考えてみます。まず、格子上の面$D$の境界$\partial D$を考えます（下図）。 このようなループのことを「自明なループ」と呼びます 3 。ループを構成する各辺に置いた$Z$演算子の積を$Z(\partial D)$と書くことにすると、 Z(\partial D) = \prod_{m,f_m \in D} A_{m} \tag{5} が成り立ちます。右辺は面$D$を構成するすべての面演算子の積をとった形になっていますが、これはわかりますでしょうか。隣接した2つの面演算子は1つの$Z$演算子を共有していますので、両者の積をとると共通した辺が$I$となります。$D$に含まれる面演算子すべてで積をとると$D$の境界以外のすべての辺は$I$となり、結局境界$\partial D$の上にある$Z$演算子だけが残ることになります。式(5)から明らかなように、この演算子$Z(\partial D)$は、すべての生成元と可換で、かつ、スタビライザー群の要素になっています（$A_{m}$の積なので）。 次に、双対格子上に定義された面$\bar{D}$の境界$\partial \bar{D}$を考えます（下図）。 双対格子上のループを構成する各辺に置いた$X$演算子の積を$X(\partial \bar{D})$と書くことにすると、 X(\partial \bar{D}) = \prod_{k,\bar{f}_k \in \bar{D}} B_{k} \tag{6} が成り立ちます。先ほどと同様に面を構成するすべての面演算子（元の格子においては頂点演算子だったもの）の積をとると境界上の$X$演算子だけが残る形になります。式(6)から明らかなように、この演算子$X(\partial \bar{D}))$も、すべての生成元と可換で、かつ、スタビライザー群の要素です。 というわけで、元の格子の自明なループ上に配置された$Z$演算子の積、および双対格子の自明なループ上に配置された$X$演算子の積はスタビライザー群の要素であり、これを符号状態に適用しても符号状態は不変になります。 非自明なループ 次に、自明でないループ＝非自明なループの上に配置された$Z$演算子と$X$演算子がどんな性質を持つのかを見ていきます。 上図に$l_1$と書かれている直線がありますが、これは周期的境界条件を前提とするとトーラスに巻き付くループになります。ループなのですが連続的な変形で一点に収縮させることができないので非自明なループです。この各辺に$Z$演算子を並べて積をとったものを、 \tilde{Z}_1 = Z(l_1) \tag{7} と書くことにします。そうすると、この演算子と生成元たちは可換になります。面演算子に含まれるのは$Z$演算子だけなので当然ですし、頂点演算子の方は$l_1$と重なる辺は必ず2個ですので可換になります 4 。可換なのですが、これはスタビライザー群の要素ではありません。つまり生成元の積の形で表すことができません。嘘だと思ったら頑張ってやってみてください。例えば、$l_1$上に並んだ$Z$演算子の積をつくりたいため$l_1$に隣接する形に面演算子を並べたとしましょう。でも、これらの積によってできあがるのは$Z(l_1)$ともうひとつ別の非自明なループ上に配置された$Z$演算子です。 すべての生成元と可換でありスタビライザー群の要素ではない演算子というのは一体何でしょうか。答えは論理演算子です。ん？となったかもしれないので、一応説明しておきます。スタビライザー群$S$を独立な生成元を使って、 S = < g_1, g_2, \cdots g_{n-k} > \tag{8} のように書き、スタビライザー状態を$\ket{\psi}$とします。すべての生成元$g_i$と可換な演算子$g \notin S$を持ってくると、 g \ket{\psi} = g g_{i} \ket{\psi} = g_{i} g \ket{\psi} \tag{9} が成り立つので、$g\ket{\psi}$は$g_i$の固有値$+1$に対応した固有空間たちの積空間上の状態（同時固有状態）です。つまり、符号空間上の状態です。が、$g\ket{\psi} = \ket{\psi}$は成り立ちません（$g \notin S$なので）。したがって、$g$は符号空間からはみ出すことなく論理状態だけを変える演算子、つまり論理演算子ということになります。 いま、式(7)で定義された$\tilde{Z}_1$を1番目の論理ビットに対する論理$Z$演算子だとします 5 。 では、1番目の論理ビットに対する$X$演算子はどのように定義すれば良いでしょうか。 \tilde{X}_1 = X(\bar{l}_1) \tag{10} とすれば、すべての生成元と可換で、$\tilde{X}_1 \tilde{Z}_1 \tilde{X}_1 = -\tilde{Z}_1$を満たすようにできるので、これでOKです。 さらに、2番目の論理ビットに対する$Z$演算子は、 \tilde{Z}_2 = Z(l_2) \tag{11} とすれば良いです。$\tilde{Z}_1$を定義する際に縦方向にぐるっと回る非自明ループを使ったので、横方向にぐるっと回る非自明ループを使います 6 。 2番目の論理ビットに対する$X$演算子は、すべての生成元と可換で、$\tilde{Z}_2$と反可換になるように、 \tilde{X}_2 = X(\bar{l}_2) \tag{12} とすれば良いです。これですべての基本論理演算子が出揃いました。繰り返しますが、上図で示した4つのループはひとつの例です。トポロジー的に別の非自明ループを元の格子と双対格子で各々用意すれば、それによって2つの論理ビットに対する$Z$演算子と$X$演算子を定義できます 7 。 誤り訂正 符号空間と基本的な論理演算子が定義できたので、この符号を使ってどのように誤り訂正が実現できるかを説明します。 ビット反転エラー まず、ビット反転エラーがどこか1つのビットに発生した場合にどのように誤りビットを特定できるかについて見ていきます。例えば、下図で番号4のビットにビット反転エラーが発生したとします。 この場合、すべての生成元を測定すると上図の$f_1$と$f_2$に対応した面演算子$Z_{1} Z_{2} Z_{3} Z_{4}$および$Z_{4} Z_{5} Z_{6} Z_{7}$のみが測定値$-1$を出力します。元の論理状態を$\ket{\psi_{L}}$とすると、 \begin{align} Z_{1} Z_{2} Z_{3} Z_{4} (X_{4} \ket{\psi_{L}}) &= - X_{4} (Z_{1} Z_{2} Z_{3} Z_{4} \ket{\psi_{L}}) = -X_{4} \ket{\psi_{L}} \\ Z_{4} Z_{5} Z_{6} Z_{7} (X_{4} \ket{\psi_{L}}) &= - X_{4} (Z_{4} Z_{5} Z_{6} Z_{7} \ket{\psi_{L}}) = -X_{4} \ket{\psi_{L}} \tag{13} \end{align} となることから、測定値は$100%$の確率で$-1$になることがわかります。したがって、各生成元をシンドローム測定して$-1$を出したものが面演算子だった場合、ビット反転エラーがあったということになり、その場所は面演算子同士が接しているところであると特定することができます。特定されたビットに再度ビット反転を施すことで元の状態に戻すことができます。 では、2つ以上のビットにビット反転エラーがあったときはどうでしょうか。例えば、下図左のように青で示した3つのビットにエラーがあった場合について考えます。 生成元を測定して$-1$を出力するのは面$f_2$と面$f_7$に対応した面演算子だけです。面$f_4$と面$f_5$を構成するビットにもエラーが発生しているのですが各々2ビット同時にビット反転しているため測定値としては$+1$になってしまいます。このように隣接している面に属するビットにエラーがあった場合、双対格子で見るとつながったチェーンのように見えるので「エラーチェーン」と言ったりしますが（青の線で示しました）、このチェーンの端点に相当する面演算子だけがシンドローム測定で反応します（測定値が$-1$になります。薄い青で塗りつぶした部分です）。この端点の情報から何とか全体のエラーチェーンを復元して誤り訂正しないといけません。いわゆる不良設定問題？というわけで、頑張ったとしても何となく確率的にしか成功しない手法なのね？という雰囲気になったかもしれません。が、ご安心ください。ここが表面符号のとてもエライところだと思うのですが、実はエラーチェーンの推定がある程度外れていても大丈夫なのです。なぜ大丈夫なのかを説明します。 上図右を見てください。本当のエラーチェーンが$\bar{c}$だったとします（青の線で示しました）。それに対して推定したエラーチェーンが$\bar{r}$だったとします（赤の線で示しました）。このとき本当のエラーは$X(\bar{c})$なのですが、推定したエラーは$X(\bar{r})$です。$X(\bar{c})$と$X(\bar{r})$とは図からわかるように頂点演算子$B_2,B_4,B_5$（薄いオレンジ色で塗りつぶした部分です）の積を演算することで互いに移行することができます。つまり、 X(\bar{c}) = B_{2} B_{4} B_{5} X(\bar{r}) \tag{14} です。したがって、エラーが$X(\bar{r})$だと思って回復処理をしたとしても、 \begin{align} X(\bar{r}) X(\bar{c}) \ket{\psi_{L}} &= X(\bar{r}) B_{2} B_{4} B_{5} X(\bar{r}) \ket{\psi_{L}} \\ &= X(\bar{r}) X(\bar{r}) B_{2} B_{4} B_{5} \ket{\psi_{L}} \\ &= B_{2} B_{4} B_{5} \ket{\psi_{L}} = \ket{\psi_{L}} \tag{15} \end{align} となり、結局元の状態に戻ったことになります 8 。というわけで、上図右のように本当のエラーチェーンと連続変形で移ることができるエラーチェーンが推定できていれば、問題なく元の符号状態を回復することができます。 が、下図のように本当のエラーチェーンと連続変形できないようにエラーチェーンを推定すると回復処理は失敗することになります。 位相反転エラー 次に、位相反転エラーがどこか1つのビットに発生した場合について考えます。下図のように4番目のビットに位相反転エラーが発生したとします。 この場合、すべての生成元を測定すると上図の$v_1$と$v_2$に対応した頂点演算子$X_{1} X_{3} X_{4} X_{6}$および$X_{2} X_{4} X_{5} X_{7}$のみが測定値$-1$を出力します。元の論理状態を$\ket{\psi_{L}}$とすると、 \begin{align} X_{1} X_{3} X_{4} X_{6} (Z_{4} \ket{\psi_{L}}) &= - Z_{4} (X_{1} X_{3} X_{4} X_{6} \ket{\psi_{L}}) = -Z_{4} \ket{\psi_{L}} \\ X_{2} X_{4} X_{5} X_{7} (Z_{4} \ket{\psi_{L}}) &= - Z_{4} (X_{2} X_{4} X_{5} X_{7} \ket{\psi_{L}}) = -Z_{4} \ket{\psi_{L}} \tag{16} \end{align} となることから、測定値は$100%$の確率で$-1$になることがわかります。したがって、各生成元をシンドローム測定して$-1$を出したものが頂点演算子だった場合、位相反転エラーがあったということになり、その場所は頂点演算子同士が接しているところであると特定することができます。特定されたビットに再度位相反転を施すことで元の状態に戻すことができます。 では、2つ以上のビットに位相反転エラーがあったときはどうでしょうか。例えば、下図左のように青で示した3つのビットにエラーがあった場合について考えます。 生成元を測定して$-1$を出力するのは頂点$v_3$と頂点$v_4$に対応した頂点演算子だけです（薄い青で塗りつぶした部分です）。頂点$v_2$と頂点$v_5$を構成するビットにエラーが発生しているのですが各々2ビット同時に位相反転しているため測定値としては$+1$になってしまいます。この場合、頂点$v_3,v_2,v_5,v_4$をつないだエラーチェーンを推定する必要があります。が、先程と同様に、推定したエラーチェーン$r$が本当のエラーチェーン$c$から連続変形できるものになっていれば、推定したものに基づいて作成した$Z(r)$を適用することで元の論理状態に回復させることができます。回復が失敗するのは推定したチェーンが本当のチェーンから連続変形できない場合です。 エラーチェーンの推定 いま見てきたようにエラーチェーンの推定が多少外れていたとしても回復できるのですが、推定したエラーチェーンが本当のエラーチェーンと連続変形によって移行できないものになっていると誤り訂正は失敗します。なるべく失敗しないようにしたいわけですが、どのように推定するのが一番良いでしょうか、ということについて考えてみます。 いま、エラーチェーン$\bar{c}$上にビット反転エラー$X(\bar{c})$が発生したとします（位相反転エラーの場合も同様の議論が成り立つので、ここではビット反転エラーのみについて考えます）。ここで、エラーチェーン$\bar{c}$はつながった1本のチェーンであるとは限りません。複数のチェーンをひっくるめて$\bar{c}$と表しているのだとイメージしておいてください（下図の青線）。 このようなエラーが発生する確率$p(\bar{c})$は、 p(\bar{c}) = (1-p)^{|E|} \prod_{i \in E} \Bigl(\frac{p}{1-p} \Bigr)^{z_i} \tag{17} と表せます。ここで、$|E|$は辺の総数、$z_i$は$i$番目の辺が$\bar{c}$に含まれる場合$1$、そうでない場合$0$という値をとるバイナリ値とします 9 。 シンドローム測定の結果$\bar{c}$の境界$\partial \bar{c}$という端点が得られたときに、一番もっともらしいエラーチェーンは、$\partial \bar{c}$を得たという条件のもとで条件付き確率$p(\bar{c}^{\prime}|\partial \bar{c})$が最大になる$\bar{c}^{\prime}$であると考えるのが良さそうです。つまり、 \bar{r} = \arg \max_{\bar{c}^{\prime}} p(\bar{c}^{\prime}|\partial \bar{c}) \tag{18} によってエラーチェーンを推定するのが良さそうです。ここで、$p(\bar{c}^{\prime}|\partial \bar{c})$は、 p(\bar{c}^{\prime}|\partial \bar{c}) \propto (1-p)^{|E|} \prod_{i \in E} \Bigl( \frac{p}{1-p} \Bigr)^{z_{i}^{\prime}} \Bigr|_{\part